( ЈСМО 2010. )
Доказати следећу неједнакост за све позитивне реалне бројеве a, b и c:
\dfrac{a^2 + 2b^2 + 4c^2}{bc} +\dfrac{b^2 + 2c^2 + 4a^2}{ac}+\dfrac{c^2 + 2a^2 + 4b^2}{ab} \ge 21\,. Када важи знак једнакости?
Означимо са L вредност израза на левој страни дате неједнакости. Тачност дате неједнакости следи из следећег низа ( тачних ) релација ( једнакости, неједнакости ):
\begin{aligned} L &= \dfrac{a^2 + 2b^2 + 4c^2}{bc} +\dfrac{b^2 + 2c^2 + 4a^2}{ac}+\dfrac{c^2 + 2a^2 + 4b^2}{ab}\\&= (\textcolor{red}{\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{c^2}{ab}})+2(\textcolor{green}{\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ac}+\dfrac{a^2}{ab}})+4(\textcolor{blue}{\dfrac{c^2}{bc}+\dfrac{a^2}{ac}+\dfrac{b^2}{ab}})\\&\stackrel{(\textcolor{red}{АГ})}{\ge} \textcolor{red}{3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}\cdot\dfrac{b^2}{ac}\cdot\dfrac{c^2}{ab}}}+2(\textcolor{green}{\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}})+4(\textcolor{blue}{\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}})\\&\stackrel{(\textcolor{green}{АГ},\textcolor{blue}{АГ})}{\ge} \textcolor{red}{3\sqrt[3]{1}}+2(\textcolor{green}{3\sqrt[3]{\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{a}{b}}})+4(\textcolor{blue}{3\sqrt[3]{\dfrac{c}{b}\cdot\dfrac{a}{c}\cdot\dfrac{b}{a}}})\\&= \textcolor{red}{3\cdot 1}+2(\textcolor{green}{3\sqrt[3]{1}})+4(\textcolor{blue}{3\sqrt[3]{1}})\\&=21. \end{aligned}
Једнакост ( у датој неједнакости ) важи ако и само ако једнакост важи код све три примењене АГ неједнакости, па добијамо следећи низ еквивалентних исказа:\begin{gathered}L=21\\\dfrac{a^2}{bc}=\dfrac{b^2}{ac}=\dfrac{c^2}{ab}\quad \text{ и }\quad\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a}{b}\quad \text{ и }\quad \dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\\a=b=c\,.\end{gathered}\\
Читаоцу се оставља да докаже еквивалентност другог и трећег исказа. Очигледно, ако је четврти исказ тачан онда је то и трећи, док ако је трећи тачан, онда због \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c}{a}=1, важи {\left(\dfrac{a}{b}\right)}^3=1, па како још \dfrac{a}{b}\gt 0, то \dfrac{a}{b}=1, а тиме и \dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=1, из чега најзад следи a=b=c. Овим је доказано да су трећи и четврти исказ еквивалентни.
Дакле, једнакост ( у датој неједнакости ) важи ако и само ако је a=b=c.