( ЈСМО 2019. )
Доказати да за произвољне бројеве a,b,c из интервала (0,1) важи неједнакост a +b + c + 2abc \gt ab +bc + ca + 2\sqrt{abc}\,.
13. августа 2020.
Задатак 29
( ЈСМО 2010. )
Доказати следећу неједнакост за све позитивне реалне бројеве a, b и c:
\dfrac{a^2 + 2b^2 + 4c^2}{bc} +\dfrac{b^2 + 2c^2 + 4a^2}{ac}+\dfrac{c^2 + 2a^2 + 4b^2}{ab} \ge 21\,. Када важи знак једнакости?
13. августа 2020.
Неједнакости између бројевних средина
- Нека су a_1,\ldots, a_n призвољни позитивни реални бројеви. Означимо њихову аритметичку, квадратну, геометријску и хармонијску средину са A, K, G и H, редом.
За бројеве A, K, G и H важи H\le G \le A \le K\,, при чему једнакост важи ако и само ако a_1=a_2=\ldots= a_n.
- Неједнакости H\le G , G \le A и A \le K се називају ХГ, АГ и АК неједнакости, редом.
- АК неједнакост важи за произвољне реалне бројеве a_1,\ldots, a_n.
- Често се АГ и АК неједнакости „примењују“ у својим еквивалентним формама:
- АГ неједнакост је еквивалентна са n\cdot\sqrt[n]{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}\le a_1+\ldots+a_n\,.
- АК неједнакост је еквивалентна са (a_1+\ldots+a_n)^2\le n\cdot (a_1^2+\ldots+a_n^2)\,.
9. августа 2020.
Задатак 28
Доказати тачност неједнакости\dfrac{3\cdot 7\cdot 11\cdot \ldots\cdot 999}{5\cdot 9\cdot 13\cdot \ldots\cdot 1001}\lt \dfrac{1}{18}\,.
7. августа 2020.
Задатак 27
Ако су a и b реални бројеви такви да a+b\ge 2, онда је a^4+b^4\ge 2. Доказати.