KöMaL Problems in Mathematics, January 2021, C.1646
Одредити сва целобројна решења једначине (xy-1)^2=(x+1)^2+(y+1)^2.
На основу низа еквивалентних исказа:
\begin{gathered}(xy-1)^2=(x+1)^2+(y+1)^2\\(xy)^2-2xy+1=x^2+2x+1+y^2+2y+1\\(xy)^2=x^2+y^2+1+2x+2y+2xy\\(xy)^2=(x+y+1)^2\\\lvert xy\rvert=\lvert x+y+1\rvert\,,\end{gathered}
добијамо да је скуп решења дате једначине једнак унији скупoва решења једначина xy=x+y+1 и xy=-(x+y+1).
На основу низа еквивалентних исказа:
\begin{gathered}xy=x+y+1\\xy-x-y-1=0\\(x-1)\cdot(y-1)-2=0\\(x-1)\cdot(y-1)=2\\(x-1,y-1)\in\{(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1)\}\\(x,y)\in\{(2,3),(3,2),(0,-1),(-1,0)\}\,,\end{gathered}
добијамо да је скуп решења једначине xy=x+y+1 једнак \{(2,3),(3,2),(0,-1),(-1,0)\}.
На основу низа еквивалентних исказа:
\begin{gathered}xy=-(x+y+1)\\xy+x+y+1=0\\(x+1)\cdot(y+1)=0\,,\end{gathered}
добијамо да је скуп решења једначине xy=-(x+y+1) једнак
\{(-1,a)\mid a\in\mathbb{Z}\}\cup \{(a,-1)\mid a\in\mathbb{Z}\}.
Дакле сва решења дате једначине су (2,3),(3,2),(-1,a),(a,-1), где a може бити било који цео број.