- Нека су a_1,\ldots, a_n призвољни позитивни реални бројеви. Означимо њихову аритметичку, квадратну, геометријску и хармонијску средину са A, K, G и H, редом.
За бројеве A, K, G и H важи H\le G \le A \le K\,, при чему једнакост важи ако и само ако a_1=a_2=\ldots= a_n.
- Неједнакости H\le G , G \le A и A \le K се називају ХГ, АГ и АК неједнакости, редом.
- АК неједнакост важи за произвољне реалне бројеве a_1,\ldots, a_n.
- Често се АГ и АК неједнакости „примењују“ у својим еквивалентним формама:
- АГ неједнакост је еквивалентна са n\cdot\sqrt[n]{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}\le a_1+\ldots+a_n\,.
- АК неједнакост је еквивалентна са (a_1+\ldots+a_n)^2\le n\cdot (a_1^2+\ldots+a_n^2)\,.
13. августа 2020.
Неједнакости између бројевних средина
13. августа 2020.
Бројевне средине
- Аритметичка средина реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \dfrac{a_1+\ldots+ a_n}{n}
- Квадратна средина реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \sqrt{\dfrac{a_1^2+\ldots+ a_n^2}{n}}
- Геометријска средина позитивних реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \sqrt[n]{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}
- Хармонијска средина позитивних реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\ldots+ \dfrac{1}{a_n}}
Напомена: Симбол \sqrt[n]{a}, где је n природан број и a позитиван реалан број, представља ( јединствено ) решење једначине x^n=a ( по x ) у скупу позитивних реалних бројева.