Пи ++

Ако P=A, онда Q=P, па имамо |AQ|=|AA|=0 и |PQ|=|AA|=0, из чега следи |AQ|=|PQ|.

Ако P=D, онда Q=B, па имамо |AQ|=|AB| и |PQ|=|DB|=|CD|=|CP|, из чега следи ( дато је |CP|=|AB|) |AQ|=|PQ|.

Ако A-P-D:

Пре свега важи A-Q-B. Нека је E тачка таква да A-D-E и |DE|=|AD|. Како дужи AE и BC имају заједничко средиште ( D ) то је ABEC паралелограм, па добијамо |AB|=|EC| и AB\parallel EC.
Из |CP|=|AB| и |AB|=|EC| следи |CP|=|EC|, па је \measuredangle CEP =\measuredangle EPC.

Доказаћемо да је \measuredangle APQ=\measuredangle PAQ из чега ће следити |AQ|=|PQ|.
\measuredangle APQ=\measuredangle EPC (унакрсни углови).
\measuredangle PAQ \stackrel{(1)}{=}\measuredangle EAB \stackrel{(2)}{=} \measuredangle CEA\stackrel{(3)}{=}\measuredangle CEP ( једнакост (1) је тачна јер важи E-P-A и A-Q-B, једнакост (2) добијамо из теореме о \mathrm{Z} угловима ( имамо да је AB\parallel EC ), једнакост (3) је тачна јер важи E-P-A ).
Како је \measuredangle EPC = \measuredangle CEP , то добијамо \measuredangle APQ=\measuredangle PAQ, чиме је доказ завршен.