(22nd Philippine Mathematical Olympiad – Qualifying Stage, 2019)
( „Крива линија“ на слици је полукружница пречника d. )
Означимо са A,B,C,D темена датог четвороугла, са O центар и са r полупречник дате кружнице (види слику). Такође, означимо мере углова OBC и OAD са \alpha и \beta, редом.
Уочимо троугао OBC. Како важи да је |OB|=|OC|, то важи да је \measuredangle OCB =\measuredangle OBC, па добијамо \measuredangle OCB =\alpha.
Како су троуглови OBC и OCD подударни (ССС), добијамо да је \measuredangle OCD =\measuredangle ODC=\alpha.
Слично као код троугла OBC, у троуглу ODA добијамо да важи \measuredangle ODA =\beta.
Било посматрајући периферијске углове BCD и BAD (над тетивом BD), било посматрајући углове четвороугла ABCD, добија се да важи 2\alpha+\beta=180^{\circ}; одакле следи да је \measuredangle BOC=\beta.
Применом косинусне теореме на троугао OBC добија се \tag{1}15^2=r^2+r^2-2\cdot r\cdot r\cdot \cos \beta. Применом косинусне теореме на троугао OAD добија се r^2=r^2+7^2-2\cdot r\cdot 7\cdot \cos \beta, што је еквивалентно са \tag{2}2r\cos\beta=7. Из (1) и (2) следи 225=2r^2-7r. Решавајући добијену квадратну једначину добија се r=12,\!5, односно d=25.
