а) Нека је n произвољан природан број. Тачно је једно од n\equiv_3 0, n\equiv_3 1, n\equiv_3 2.

• Ако n\equiv_3 0, онда n^2\equiv_3 0.
• Ако n\equiv_3 1, онда n^2\equiv_3 1.
• Ако n\equiv_3 2, онда n^2\equiv_3 4, па како 4\equiv_3 1, то је n^2\equiv_3 1.

Дакле, квадрат природног броја при дељењу са 3 може имати једино остатке 0 или 1.

б) Слично као под а) имамо следеће случајеве.

• Ако n\equiv_4 0, онда n^2\equiv_4 0.
• Ако n\equiv_4 1, онда n^2\equiv_4 1.
• Ако n\equiv_4 2, онда n^2\equiv_4 4, па како 4\equiv_4 0, то је n^2\equiv_4 0.
• Ако n\equiv_4 3, онда n^2\equiv_4 9, па како 9\equiv_4 1, то је n^2\equiv_4 1.

Дакле, квадрат природног броја при дељењу са 4 може имати једино остатке 0 или 1.