Пи ++

Нека је n произвољан природан број. Уочимо следећи низ еквивалентних исказа
\begin{gathered}1^{2016}+2^{2017}+3^{2018}+4^{2019}+5^{2020}+n \text{ је дељиво са } 13\\1+2^{2017}+3^{2018}+4^{2019}+5^{2020}+n \equiv_{13} 0\\n\equiv_{13} -1-2^{2017}-3^{2018}-4^{2019}-5^{2020}\,.\end{gathered}

Одредимо „мање“ бројеве са којима су конгруентни бројеви 2^{2017}, 3^{2018}, 4^{2019}, 5^{2020} по модулу 13.

2^{2017}: Тражимо степен двојке који је конгруентан са 1 или -1 по модулу 13. Провером 2^4\equiv_{13} 3\;\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow}\; 2^5\equiv_{13} 6\;\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow}\; 2^6\equiv_{13} 12 \equiv_{13} -1 добијамо 2^6\equiv_{13} -1. Имајући у виду да је 2017=6\cdot 336+1, поступамо на следећи начин:2^6\equiv_{13} -1\;\stackrel{\Box^{336}}{\longrightarrow}\; 2^{6\cdot 336}\equiv_{13} 1\;\stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow}\;2^{6\cdot 336+1}\equiv_{13}  2\;\longrightarrow\; \boxed{2^{2017}\equiv_{13} 2}\,.

3^{2018}: Прво, 3^3\equiv_{13} 1 и 2018=3\cdot 672 + 2. Даље, 3^3\equiv_{13} 1\;\stackrel{\Box^{672}}{\longrightarrow}\; 3^{3\cdot 672}\equiv_{13} 1\;\stackrel{\cdot 3^2}{\longrightarrow}\; 3^{3\cdot 672+2}\equiv_{13} 9\;\longrightarrow\; \boxed{3^{2018}\equiv_{13} 9}\,.

4^{2019}: Како је 4^3=2^6, то из претходног видимо да је 4^3\equiv_{13} -1 . Такође, 2019=3\cdot 673. Даље, 4^3\equiv_{13} -1\;\stackrel{\Box^{673}}{\longrightarrow}\; \boxed{4^{2019}\equiv_{13} -1}\,.

5^{2020}: Прво, 5^2\equiv_{13} 12\equiv_{13} -1 и 2020=2\cdot 1010. Даље, 5^2\equiv_{13} -1\stackrel{\Box^{1010}}{\longrightarrow}\;\boxed{5^{2020}\equiv_{13} 1}\,.

Сада настављамо горе започети низ еквивалентних исказа \begin{gathered}n\equiv_{13} -1-2-9-(-1)-1\\n\equiv_{13} -12\\n\equiv_{13} 1\,.\end{gathered}

Овим је задатак сведен на одређивање природног броја n\equiv_{13}1 који се за најмање разликује од броја 2019 ( што се n и 2019 за мање разликују, то је мања вредност израза |n-2019| ). Како је 2019=13\cdot 155+4, то јe тражени број 13\cdot 155+1=2016 ( |2016-2019|=3, |2029-2019|=10 и |n-2019|\gt 13 за све природне бројве n\equiv_{13} 1 различите од 2016 и 2029 ).

а) Нека је n произвољан природан број. Тачно је једно од n\equiv_3 0, n\equiv_3 1, n\equiv_3 2.

• Ако n\equiv_3 0, онда n^2\equiv_3 0.
• Ако n\equiv_3 1, онда n^2\equiv_3 1.
• Ако n\equiv_3 2, онда n^2\equiv_3 4, па како 4\equiv_3 1, то је n^2\equiv_3 1.

Дакле, квадрат природног броја при дељењу са 3 може имати једино остатке 0 или 1.

б) Слично као под а) имамо следеће случајеве.

• Ако n\equiv_4 0, онда n^2\equiv_4 0.
• Ако n\equiv_4 1, онда n^2\equiv_4 1.
• Ако n\equiv_4 2, онда n^2\equiv_4 4, па како 4\equiv_4 0, то је n^2\equiv_4 0.
• Ако n\equiv_4 3, онда n^2\equiv_4 9, па како 9\equiv_4 1, то је n^2\equiv_4 1.

Дакле, квадрат природног броја при дељењу са 4 може имати једино остатке 0 или 1.