Пи ++

19. јула 2020.

Задатак 9

На страници $BC$ троугла $ABC$ дата је тачка $D$ таква да је $AD$ симетрала угла $BAC$ , а на страници $AC$ дата је тачка $E$ таква да је $|CD|=|CE|$ . Ако је $\measuredangle ABC=36^{\circ}$ , одредити $\measuredangle ADE$ .

РЕШЕЊЕ.

19. јула 2020.

Збир два унутрашња угла троугла

Збир два унутрашња угла троугла једнак је спољашњем углу код трећег темена.

18. јула 2020.

Задатак 8

Нека је $ABCD$ (произвољан) четвороугао и нека су тачке $M,N,P,Q$ средишта страница $AB,BC,CD, DA$ , редом. Доказати да је четвороугао $MNPQ$ паралелограм.

РЕШЕЊЕ.

18. јула 2020.

Средња линија троугла

Ако су $A,B, C$ три тачке, а $M$ и $N$ средишта дужи $AC$ и $BC$ , онда важи да је $|MN|=\frac{|AB|}{2}$ и $MN\parallel AB$ .

17. јула 2020.

Задатак 7

(22nd Philippine Mathematical Olympiad – Qualifying Stage, 2019)

( „Крива линија“ на слици је полукружница пречника $d$ . )

РЕШЕЊЕ.

16. јула 2020.

Задатак 6

а) Нека је $ABC$ троугао. Ако за тачку $M$ важи распоред $A-M-C$ или $B-M-C$ , онда важи $|AM|+|MB|\lt|AC|+|CB|$ . Доказати.

б) Нека је $ABC$ троугао. Ако тачку $M$ припада унутрашњој области троугла $ABC$ , онда важи $|AM|+|MB|\lt|AC|+|CB|$ . Доказати.

РЕШЕЊЕ.

16. јула 2020.

Неједнакост троугла

За произвољне три тачке $A,B,C$ важи $|AB|\leq |AC|+|CB|$ , при чему једнакост важи акко важи распоред $A-C-B$ .

15. јула 2020.

Задатак 5

(Baltic Way 2018)
Нека је $p$ непаран прост број. Одредити све природне бројеве $n$ за које је $\sqrt{n^2-np}$ природан број.

РЕШЕЊЕ.

Нека је $n$ природан број такав да је $\sqrt{n^2-np}=\sqrt{n(n-p)}$ природан број.

Ако $n$ није потпун квадрат, онда постоји бар један његов прост делилац $q$ који у $n$ учествује непаран број пута као прост чинилац. Како је $\sqrt{n(n-p)}$ природан број, тј. $n\cdot(n-p)$ потпун квадрат, то прост број $q$ мора учествовати непаран број пута као чинилац броја $n-p$ ( да би у $n\cdot(n-p)$ учествовао паран број пута ). Дакле, $q|(n-p)$ , па како $q|n$ , то $q|p$ , из чега следи $q=p$ ( $q$ и $p$ су прости ). Овим смо добили да је $p$ једини прост делилац броја $n$ који у њему учествује непаран број пута као прост чинилац, а самим тим да је количник бројева $n$ и $p$ ( у ознаци $k$ ) потпун квадрат. Сада добијамо да је $\sqrt{n(n-p)}=\sqrt{kp(kp-p)}=\sqrt{kp^2(k-1)}=p\sqrt{k}\sqrt{k-1}$ природан број, из чега следи да је $\sqrt{k-1}$ природан број, тј. да је $k-1$ потпун квадрат, а што није могуће јер је $k$ потпун квадрат ( јасно је да не постоје два потпуна квадратa који се разликују за $1$ ). Контрадикција.

Овим смо доказали да је $n$ потпун квадрат. Означимо његов корен са $l$ ( $n=l^2$ ). Kako je $\sqrt{n(n-p)}=l\sqrt{n-p}$ природан број, то је и $\sqrt{n-p}$ природан број, означимо га са $m$ . Сада имамо $l^2-p=m^2$ , а одатле и $p=l^2-m^2=(l-m)(l+m)$ , па је $l-m=1$ и $l+m=p$ . Из последње две једнакости добија се $p=2l-1$ тј. $l=\frac{p+1}{2}$ , па је $n=(\frac{p+1}{2})^2$ .

На основу до сада изложеног једино можемо закључути да природни бројеви различити од $(\frac{p+1}{2})^2$ не испуњавају услов задатка, али не и да број $(\frac{p+1}{2})^2$ задовољава тај услов.

Како је p непаран природан број, то је $\frac{p+1}{2}$ природан број, па је то и $(\frac{p+1}{2})^2$ . Сада треба проверити да ли је $\sqrt{((\frac{p+1}{2})^2)^2-(\frac{p+1}{2})^2\cdot p}$ природан број. Ради једноставнијег рачуна, означимо природан број $\frac{p+1}{2}$ са $a$ . Тада је $p=2a-1$ , па имамо $\begin{aligned}\sqrt{\Big(\Big(\frac{p+1}{2}\Big)^2\Big)^2-\Big(\frac{p+1}{2}\Big)^2\cdot p}&=\sqrt{\big(a^2\big)^2-a^2\cdot(2a-1)}\\&=\sqrt{a^2(a^2-2a+1)}\\&=a\sqrt{(a-1)^2}=a(a-1).\end{aligned}$ Како је $a(a-1)$ природан број ( $a-1$ је природан број јер из $p\gt 2$ следи $a\gt 1$ ), то природан број $(\frac{p+1}{2})^2$ задовољава услов задатка.

Дакле, $(\frac{p+1}{2})^2$ је једини природан број са траженим особинама.

14. јула 2020.

Задатак 4

(Korean Junior Mathematical Olympiad 2018)
За природан број кажемо да је интересантан ако има бар $4$ делиоца и ако је једнак збиру квадрата своја $4$ најмања делиоца. Одредити све интересантне природне бројеве.

РЕШЕЊЕ.

Нека је $m$ интересантан број. Означимо његова $4$ најмања делиоца са $d_1, d_2, d_3, d_4$ тако да важи $d_1\lt d_2\lt d_3\lt d_4$ . Јасно је да је $d_1=1$ . Према дефиницији интересантног броја имамо да важи
$\tag{1}m=1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2.$

Број $m$ не може бити непаран јер би тада бројеви $d_1, d_2, d_3, d_4$ такође били непарни, па једнакост $(1)$ не би била тачна (лева страна непарна, десна парна). Дакле, $m$ је паран број, па тиме и $d_2=2$ . Сада из једнакости $(1)$ добијамо једнакост
$\tag{2}m=5+d_3^2+d_4^2,$ из чега закључујемо да су бројеви $d_3$ и $d_4$ различите парности (у супротном би лева страна једнакости била парна, а десна непарна), па их можемо означити са $n$ и $p$ тако да је $n$ непаран, а $p$ паран број. Јасно је да $n$ мора бити најмањи непаран прост делилац броја $m$ , а $p\in\{2\cdot 2,2\cdot n\}$ .

Ако је $p=4$ , онда $4|m$ и једнакост $(2)$ прелази у једнакост
$\tag{3}m=21+n^2,$ из које следи $n|21$ ( $n|m, n|n^2$ ), па је $n\in\{3,7\}$ ( $n$ је прост).

Ако је $n=3$ , онда из $(3)$ добијамо $m=30$ , што је у контрадикцији са $4|m$ .
Ако је $n=7$ , онда из $(3)$ добијамо $m=70$ , што је у контрадикцији са $4|m$ .

Дакле, $p\neq 4$ , па је $p=2n$ . Такође, $4$ није делилац број $m$ јер није међу $4$ најмања делиоца броја $m$ . Сада имамо $d_3=n$ и $d_4=2n$ , па једнакост $(2)$ прелази у $m=5+n^2+4n^2$ , тј.
$\tag{4}m=5\cdot(1+n^2),$ одакле следи да је $5$ делилац броја $m$ као и да је $n=5$ (како $4$ није делилац од $m$ , а $5$ јесте, то је $5$ сигурно међу $4$ најмања делиоца броја $m$ ). Једнакост $(2)$ даје $m=5\cdot(1+5^2)=130$ .

Овим смо показали да природни бројеви различити од $130$ нису интересантни.

Како су $1,2,5,10$ четири најамњи делиоца броја $130$ и како је $130=1^2+2^2+5^2+10^2$ , то закључујемо да је $130$ интересантан број.

Дакле, $130$ је једини природан број који је интересантан.

14. јула 2020.

Задатак 3

Дата су два низа $3,11,19,\ldots,563$ (сваки члан низа, изузев првог, већи је за $8$ од претходног члана низа) и $1,8,15,\ldots,491$ (сваки члан низа, изузев првог, већи је за $7$ од претходног члана низа). Одередити све заједничке чланове ова два низа.

РЕШЕЊЕ.

електронски часопис

Филтери

Wordpress Meta Data and Taxonomies Filter

Категорије

Ознаке

Узраст

Област

Задатак 9

Збир два унутрашња угла троугла

Задатак 8

Средња линија троугла

Задатак 7

Задатак 6

Неједнакост троугла

Задатак 5

Задатак 4

Задатак 3