Како
a,b\in (0,1), то
1-a\gt 0,
1-b\gt 0, па је и
(1-a)\cdot(1-b)\gt 0, што је еквивалентно са
\tag{1} 1+ab\gt a+b\,.Множећи обе стране неједнакости
(1) са
c (
c \gt 0 ) добијамо
\tag{2} c+abc\gt ca+cb\,.
Слично се из
a,c\in (0,1) добија
\tag{3} b+abc\gt ba+bc\,.„Сабирањем неједнакости“
(2) и
(3) добијамо
\tag{4} b+c+ 2abc\gt ab+bc+ca + bc\,.Сабирањем обе стране неједнакости
(4) са
a добијамо
\tag{5} a+b+c+ 2abc\gt ab+bc+ca +a+ bc\,.Применом
АГ неједнакости на бројеве
a,bc добијамо
a+bc\ge 2\sqrt{abc}, из чега следи ( сабирајући обе стране те неједнакости са
ab+bc+ca)
\tag{6} ab+bc+ca +a+ bc\ge ab+bc+ca+2\sqrt{abc} \,.Из
(5) и
(6) следи
a+b+c+ 2abc\gt ab+bc+ca +2\sqrt{abc}\,, а што је и требало доказати.