Доказати да постоји природан број n такав да број {2021}^{n} има бар 2020 узастопних нула у свом декадном запису.
6. августа 2020.
Ојлерова теорема
Нека је a цео број и n природан број. Ако су a и n узајмно прости, онда важи {a}^{\varphi(n)}\equiv_n 1, где \varphi представља Ојлерову функцију.
6. августа 2020.
Ојлерова функција
Функција \natnums\ni n\mapsto \varphi(n) , где је са \varphi(n) означен број природних бројева који нису већи од n и узајамно прости су са n, назива се Ојлерова функција.
6. августа 2020.
Узајамно прости бројеви
За целе бројеве a и b кажемо да су узајамно прости ако a и b немају заједничких простих делилаца.
5. августа 2020.
Задатак 25
Нека је m природан број различит од 2^n-1 за сваки природан број n. Доказати да је 1\underbrace{0\ldots0}_{m}1 сложен број.
4. августа 2020.
Задатак 24
Ако изаберемо било којих 51 од првих 100 природних бројева, онда међу изабараним бројевима постоје два броја таква да је један од њих дељив другим. Доказати.
2. августа 2020.
Задатак 23
2. августа 2020.
Дијагонале паралелограма
За произвољне четири неколинеарне тачке A,B,C,D важи:
Дужи AB и CD имају заједничко средиште ако и само ако је ACBD паралелограм.
Напомена: Приметимо да из ове теореме следи да се дијагонале паралелограма полове (имају заједничко средиште), као и да ако четвороугао има дијагонале које се полове онда је он паралелограм.
1. августа 2020.
Задатак 22
Да ли постоји троугао сa страницама мањим од 2 и полупречником описане кружнице већим од 2020?
1. августа 2020.
Описана кружница троугла
- За сваке три неколинеарне тачке постоји тачно једна кружница која их ( све три ) садржи.
- Кружница која садржи три неколинеарне тачке A,B,C назива се описана кружница троугла ABC и обележава се са k(ABC).
- Центар описане кружнице троугла припада симетралама страница тог троугла.