Теорема о Z и C угловима

  • Z углови су једнаки ако и само ако су крајње дужи Z линије паралелне.
  • C углови су суплементни ако и само ако су крајње дужи C линије паралелне.

Z и C линије и углови

Ако посматрамо изломљену линију од три дужи, њене крајње тачке могу бити или са различитих страна или са исте стране праве одређене средњом дужи изломљене линије. У првом случају, за изломљену линију кажемо да је Z линија, а у другом случају да је C линија.

Два конвексна угла Z линије називамо Z угловима, а два конвексна угла C линије називамо C угловима.

Задатак 30

( ЈСМО 2019. )

Доказати да за произвољне бројеве a,b,c из интервала (0,1) важи неједнакост a +b + c + 2abc \gt ab +bc + ca + 2\sqrt{abc}\,.

Задатак 29

( ЈСМО 2010. )

Доказати следећу неједнакост за све позитивне реалне бројеве a, b и c:
\dfrac{a^2 + 2b^2 + 4c^2}{bc} +\dfrac{b^2 + 2c^2 + 4a^2}{ac}+\dfrac{c^2 + 2a^2 + 4b^2}{ab} \ge 21\,. Када важи знак једнакости?

Неједнакости између бројевних средина

  • Нека су a_1,\ldots, a_n призвољни позитивни реални бројеви. Означимо њихову аритметичку, квадратну, геометријску и хармонијску средину са A, K, G и H, редом.

    За бројеве A, K, G и H важи H\le G \le A \le K\,, при чему једнакост важи ако и само ако a_1=a_2=\ldots= a_n.

  • Неједнакости H\le G , G \le A и A \le K се називају ХГ, АГ и АК неједнакости, редом.
  • АК неједнакост важи за произвољне реалне бројеве a_1,\ldots, a_n.
  • Често се АГ и АК неједнакости „примењују“ у својим еквивалентним формама:
    • АГ неједнакост је еквивалентна са n\cdot\sqrt[n]{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}\le a_1+\ldots+a_n\,.
    • АК неједнакост је еквивалентна са (a_1+\ldots+a_n)^2\le n\cdot (a_1^2+\ldots+a_n^2)\,.

Бројевне средине

  • Аритметичка средина реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \dfrac{a_1+\ldots+ a_n}{n}
  • Квадратна средина реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \sqrt{\dfrac{a_1^2+\ldots+ a_n^2}{n}}
  • Геометријска средина позитивних реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \sqrt[n]{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}
  • Хармонијска средина позитивних реалних бројева a_1,\ldots, a_n је број \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\ldots+ \dfrac{1}{a_n}}

Напомена: Симбол \sqrt[n]{a}, где је n природан број и a позитиван реалан број, представља ( јединствено ) решење једначине x^n=a ( по x ) у скупу позитивних реалних бројева.

Задатак 28

Доказати тачност неједнакости\dfrac{3\cdot 7\cdot 11\cdot \ldots\cdot 999}{5\cdot 9\cdot 13\cdot \ldots\cdot 1001}\lt \dfrac{1}{18}\,.

Задатак 27

Ако су a и b реални бројеви такви да a+b\ge 2, онда је a^4+b^4\ge 2. Доказати.

Задатак 26

Доказати да постоји природан број n такав да број {2021}^{n} има бар 2020 узастопних нула у свом декадном запису.

Ојлерова теорема

Нека је a цео број и n природан број. Ако су a и n узајмно прости, онда важи {a}^{\varphi(n)}\equiv_n 1, где \varphi представља Ојлерову функцију.